ზოგიერთი ელიფსურ განტოლებათა სისტემისთვის საკონტაქტო ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნა მართკუთხოვანი არის შემთხვევაში

ბევრი პრაქტიკული ამოცანის მათემატიკური მოდელირება მოითხოვს სხვადასხვა გეომეტრიული თავისებურებების მქონე არეებზე ანუ მულტი-სტრუქტურებზე დასმული სასაზღვრო და საწყის-სასაზღვრო ამოცანების შესწავლას. მულტი-სტრუქტურული კონსტრუქციების მათემატიკურ მოდელირებასა და შესაბამისი მათემატიკური ამოცანების გამოკვლევას აქვს, როგორც თეორიული, ასევე პრაქტიკული მნიშვნელობა. პრაქტიკული გამოყენებებისთვის საინტერესოა მულტი-სტრუქტურები, რომლებიც შედგებიან ფირფიტების, გარსების, ღეროების და სხვა ქვესტრუქტურებისაგან. ორი ათეული წელია გასული მას შემდეგ, რაც მეცნიერები მულტი-სტრუქტურების მათემატიკური მოდელების აგებითა და გამოკვლევით დაინტერესდნენ. მულტი-სტრუქტურების მათემატიკური მოდელების გამოკვლევა გარკვეულ სირთულეებთან არის დაკავშირებული. შევნიშნავთ, რომ სირთულე გამოწვეულია იმით, რომ მულტი-სტრუქტურების შემადგენელი ნაწილებისათვის საკონტატო პირობები არ იძლევა საშუალებას მოვახდინოთ პირდაპირი გახლეჩა, ამიტომ საჭირო ხდება იტერაციული მეთოდის გამოყენება დეკომპოზიციის მეთოდთან კომბინირებით. უნდა აღინიშნოს, ლიტერატურაში ცნობილი მეთოდები მულტი-სტრუქტურების მათემატიკური მოდელების აგების და შესაბამისი დაბალგანზომილებიანი მოდელები, შეიძლება გამოყენებული იყოს მხოლოდ მოცემული მულტი-სტრუქტურის ქვესტრუქტურების სისქის და სიგანის სხვა ზომებთან შედარებით სიმცირის შემთხვევაში. მაშინ როდესაც რეალური სხეულებისათვის აღნიშნული სიდიდეები შეიძლება არ არიან ამისთვის საკმარისად მცირეები. აქედან გამომდინარე, სხვადასხვა რთული მულტი-სტრუქტურული კონსტრუქციების მათემატიკური მეთოდებით შესწავლისას და შესაბამისი სასაზღვრო ამოცანების მიახლოებითი ამოხსნისათვის გამართლებულია მიმდევრობით მიახლოების მეთოდის გამოყენება, როცა თითოეულ ნაბიჯზე მიღებული დაბალგანზომილებიანი ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნების მიმდევრობა მიისწრაფის საწყის ამოცანის ზუსტი ამონახსნისკენ. წარმოდგენილ სამაგისტრო ნაშრომში განხილულია უმარტივესი მულტი-სტრუქ-ტურებისთვის სასაზღვრო-საკონტაქტო ამოცანები. კერძოდ განხილულია ზოგიერთი ელიფსური განტოლებათა სისტემისთვის სასაზღვრო-საკონტაქტო ამოცანის მიახლოებით ამოხსნა მართკუთხოვანი არის შემთხვევაში და სასაზღვრო-საკონტაქტო ამოცანა „ხიდის ფორმის“ მულტისტრუქტურული ბრტყელი სხეულისთვის. §1-ის პირველ პუნქტში განხილულია მეორე რიგის ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემისთვის სასაზღვრო-საკონტაქტო ამოცანა ორი გაერთიანებული შუალედისთვის საერთო საზღვრით. მარცხენა შუალედის მარცხენა ბოლოში და მარჯვენა შუალედის მარჯვენა ბოლოში მოცემულია დირიხლეს სასაზღვრო პირობები, ხოლო საერთო წერტილზე გვაქვს გლუვი გადაბმა, ე. ი. ტოლია ამონახსნები და მათი წარმოებულები. იწერება თითოეულ შუალედში დირიხლეს ამოცანის ამონახსნი ცხადი სახით. ამ შემთხვევაში იგულისხმება, რომ საერთო წერტილში ამონახსნის მნიშვნელობა ჯერ-ჯერობით უცნობია. ის ცალსახად განისაზღვრება საკონტაქტო პირობების გათვალისწინებით. §1-ის მეორე პუნქტში განხილულია წინა პუნქტში განხილული უწყვეტი ამოცანის სხვაობიანი ანალოგი. სხვაობიანი სისტემის ამოხსნისათვის გამოყენებულია ფაქტორიზაციის მეთოდი. აქ არსებითია ის ფაქტი, რომ საერთო წერთილზე უწყვეტი ამოცანისთვის ცნობილი საკონტაქტო პირობები გადატანილია სხვაობიანი ამოცანისთვის. §1-ის მესამე პუნქტში განხილულია მეორე რიგის ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემისთვის სასაზღვრო-საკონტაქტო ამოცანა სამი გაერთიანებული შუალედისთვის საერთო საზღვრითი წერტილებით. როგორც წინა პუნქტებში, აქაც საერთო წერტილებში გვაქვს უწყვეტი გადაბმა. ამ ამოცანის ამოხსნისათვის მიდგომა იგივე რაც პირველ პუნქტში (ორი გაერთიანებული შუალედის შემთხვევაში). იწერება ამონახსნები ცხადი სახით დირიხლეს ამოცანის შემთხვევაში, სადაც გადაბმის წერტილებში სასაზღვრო მნიშვნელობები ჯერ-ჯერობით უცნობი სიდიდეებია. საკონტაქტო პირობების გათვალისწინებით მიიღება ორ უცნობიანი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც ერთადერთი ამონახსნი აქვს. მეორე პარაგრაფი ეძღვნება პუასონის განტოლებათა სისტემისათვის სასაზღვრო-საკონტაქტო ამოცანის მიახლოებით ამოხსნას ორი გაერთიანებული მართკუთხოვანი არისთვის საერთო საზღვრით. §2-ის პირველ პუნქტში განხილულია დასმული ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნის სხვაობიანი მეთოდი. თითოეულ არეში იწერება სტანდარტული სქემა “ჯვარი”. მიღებული სხვაობიანი განტოლებათა სისტემა იხსნება ფაქტორიზაციის მეთოდის იტერაციულ მეთოდთან კომბინირებით. ფაქტორიზაციიას ვატარებთ ღერძის გასწვრივ საკონტაქტო პირობების გათვალისწინებით, როგორც ეს გვქონდა ერთგანზომილებიანი შემთხვევისათვის. §2-ის მეორე პუნქტში განხილულია ნახევარ-დისკრეტიზაციის მეთოდი წინა პუნქტში დასმული ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნისათვის. თუ მოვახდენთ დისკრეტიზაციიას ცვლადის მიხედვით, მაშინ მივიღებთ მეორე რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებათა სისტემისთვის სასაზღვრო-საკონ-ტაქტო ამოცანას ორი გაერთიანებული შუალედისთვის საერთო საზღვრით. ამ ამოცანის ამონახსნი იწერება ცხადი სახით (§1-ის პირველ პუნქტში განხილული სკალარული განტოლების ანალოგიურად) ექსპონენციალური მატრიცა ფუნქციის საშულებით. ამ ცხად წარმოდგენაში შემავალი შებრუნებული მატრიცა ფუნქციების არსებობა მტკიცდება მარტივად, რადგან სისტემის მატრიცი არის სიმეტრიული და დადებითად განსაზღვრული. მესამე პარაგრაფში შესწავლილია სასაზღვრო-საკონტაქტო ამოცანა „ხიდის ფორმის“ მულტისტრუქტურული ბრტყელი სხეულისთვის. კერძოდ განხილულია მართკუთხედის ფორმის ორი მემბრანა შეერთებულია სიმით. მემბრანისთვის განხილულია კლასიკური წრფივი სასაზღვრო ამოცანები. მემბრანის ღუნვის განტოლება წარმოადგენს პუასონის განტოლებას, ხოლო სიმი აღიწერება კირხოფის ტიპის არაწრფივ ინტეგრო-დიფერენციალურ განტოლებით. მემბრანების ის საზღვრები, რომელზედაც გადაბმულია არაწრფივი სიმი, თავისუფალია. ეს მათემატიკურად ნიშნავს, რომ უცნობი ფუნქციების წარმოებულები -ის მიმართ ამ საზღვრების გასწვრივ ნულის ტოლია. დასმული ამოცანისთვის აგეებულია რიცხვითი ამოხსნის ალგორითმი. შექმნილია პროგრამა Matlab -ში და ჩატარებულია რიცხვითი ექსპერიმენტები.