ჩებიშევის პოლინომების განზოგადება და მათი გამოყენება სამწერტილოვანი სკალარულ და ვექტორულ განტოლებათა სისტემების ამოხსნისათვის

ა ნ ო ტ ა ც ი ა კერძო წარმოებულებიანი დიფერენვიალური განტოლებებისათვის სასაზღვრო და საწყის-სასაზღვრო ამოცნები, როგორც ცნობილია, შეგვიძლია განვიხილოთ, როგორც ოპერატორული დიფერენციალური განტოლებები შესაბამის ფუნქციონალურ სივრცეებში. ასეთი ტიპის ამოცანებისათვის რიცხვითი ალგორითმების აგების ერთ-ერთ უნივეერსალურ მეთოდს წარმოადგენს სასრულსხვაობიანი მეთოდი, კერძოდ ნახევრადდისკრეტიზაციის მეთოდი (წრფეთა მეთოდი). Dდიფერენციალური განტოლებისათვის სასაზღვრო ამოცანების მიახლოებითი ამოხსნა ნახევრადდისკრეტიზაციის მეთოდით დაიყვანება სპეციალური სტრუქტურის დიფერენციალურ სხვაობიან განტოლებათა სისტემების ამოხსნაზე, რომლებიც შეგვიძლია წარმოვადგინოთ როგორც ოპერატორულ-სხვაობიანი სქემები შესაბამის ფუნქციონალურ სივრცეებში. ასეთი სქემებისათვის ისეთი აპრიორული შეფასებების მიღებას, საიდანაც გამომდინარეობს მდგრადობა და მიახლოებითი ამონახსნის კრებადობა ზუსტი ამონახსნისაკენ ბუნებრივ კლასებში, აქვთ არსებითი პრაქტიკული და თეორიული მნიშვნელობა. Eელიფსური ამოცანებისათვის წრფეთა მეთოდის გამოყენება გვაძლევს სამწერტილოვან ოპერატორულკოეფივიენტებიან ვექტორულ განტოლებათა სისტემას. ასოცირებული პოლინომების მეთოდის გამოყენებით ადვილად მტკიცდება ასეთი სისტემების კორექტული ამოხსნადობა, როგორც წრფივ ასევე არაწრფივ შემთხვევაში. სამაგისტრო ნაშრომში განხილულია შესაბამისად მუდმივი და ცვლადკოეფიცი-ენტაბიანი სამწერტილოვანი სკალარული განტოლებათა სისტემები და ოპერატორულ-კოეფიციენტებიანი (საზოგადოდ არაწრფივი) სამწერტილოვანი ვექტორულ განტოლებათა სისტემები. Gგამოკვლეულია ამ სისტემების კორექტული ამოხსნადობის საკითხები ჩებიშევის კლასიკური პოლინომებისა და განზოგადებული პოლინომების გამოყენებით. სამწერტილოვან სკალარულ განტოლებათა სისტემა წარმოიქმნება მეორე რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებისათვის სასაზღვრო ამოცანის სამწერტი-ლოვანი აპროქსიმაციის შედეგად დამტკიცებულია, რომ სამწერტილოვანი მუდმივკოეფი-ციენტებიანი სკალარული განტოლებათა სისტემას გარკვეულ პირობებში გააჩნია ერთადერთი ამონახსნი და ეს ამონახსნი აგებულია ჩებიშევის ორი ცვლადის პოლინომების საშუალებით. შესაბამისი მახასიათებელი განტოლების ფესვების საშუალებით შეფასებულია ამონახსნი, საიდანაც კეთდება დასკვნა სისტემის მდგრადობის შესახებ. განხილულია სამწერტილოვანი ცვლადკოეფიციენტებიანი სკალარული განტოლებათა სისტემა. Aამ სისტემის ამონახსნი აგებულია განზოგადებული პოლინომების საშუალებით და გამოკვლეულია სისტემის ამონახსნის არსებობის, ერთადერთობის და მდგრადობის საკითხები. აგებულია სამწერტილოვანი ცვლადკოეფიციენტებიანი სკალარული განტოლებათა სისტემის ამონახსნის მდგრადი თვლის ალგორითმი, რომელიც ეფუძვნება ამონახსნის ცხადად წარმოდგენას განზოგადებული პოლინომების საშუალებით. ნაშრომში განხილულია ასევე სამწერტილოვანი ოპერატორულკოფიციენტებიანი ვექტორულ განტოლებათა სისტემა. როგორც ცნობილია, ასეთი ტიპის სისტემები წარმოიქმნება ელიფსური სასაზღვრო ამოცანებისათვის, ნახევარდისკრეტიზაციის, სასრულ სხვაობიანი, ვარიაციული (საკორდინატო ფუნქციების სათანადოდ შერჩევის შემთხვევაში) და სასრულელემენტთა მეთოდების გამოყენების შედეგად. განხილულია ორი შემთხვევა, როცა კოეფიციენტები წრფივი და არაწრფივი ოპერატორებია. შესაბამისად გარკვეული ბუნებრივი პირობების შესრულების შემთხვევაში ჩებიშევის ორი ცვლადის პოლინომების თვისებების საფუძველზე ნაჩვენებია (ორივე შემთხვევაში) სისტემის კორექტული ამოხსნადობა. შევნიშნავთ, რომ არაწრფივი სისტემის ამოხსნადობის დამტკიცება მიიყვანება შეშფოთებული სისტემისათვის იტერაციული პროცესის გამოყენებაზე. მიღებული შედეგებს გამოყენება აქვთ ზოგიერთი ელიფსური სასაზღვრო ამოცანის შესაბამისი დისკრეტული ამოცანის მდგრადობის და კრებადობის საკითხების გამოკვლევისათვის.