პარაბოლურ და ჰიპერბოლურ განტოლებათა სისტემებისათვის საწყის-საკონტაქტო ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნა მართკუთხოვანი არის შემთხვევაში

არასტაციონარული კერძო წარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებები აღწერენ ბუნებაში მიმდინარე სხვადასხვა პროცესებს. პრაქტიკული გამოყენებების თვალსაზრისით მნიშვნელოვანია ამ განტოლებებისათვის საწყის-სასაზღვრო ამოცანე-ბის რიცხვითი ამოხსნა. სამაგისტრო ნაშრომი ეხება სივრცითი კოორდინატის მიხედვით ერთგანზომილებიან პარაბოლური და ჰიპერბოლურ განტოლებათა სისტემებისათვის საწყის-საკონტაქტო ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნას მართკუთხოვანი არის შემთხვევაში. განხილულია სივრცითი კოორდინატის მიხედვით ერთგანზომილებიან პარაბოლურ განტოლებათა სისტემისათვის საწყის-საკონტაქტო ამოცანა. სივრცითი კოორდინატის ცვლილების არეს წარმოადგენს ორი გაერთიანებული შუალედი საერთო საზღვრით. მარცხენა შუალედის მარცხენა ბოლოში და მარჯვენაშუალედის მარჯვენა ბოლოში მოცემულია დირიხლეს სასაზღვრო პირობები, ხოლო საერთო საზღვარზე გვაქვს გლუვი გადაბმა, ე.ი. ტოლია ამონახსნები და მათი წარმოებულები თითოეული განტოლებისათვის იწერება ცხადი ორშრიანი სქემა. ნულოვანი შრის კვანძით წერტილებში (გადაბმის წერტილების ჩათვლით) ამონახსნების მნიშვნელობები ცნობილია სასაზღვრო პირობიდან. პირველი შრის ყველა წერტილში (გარდა გადაბმის წერტილისა) ამონახსნის მნიშვნელობებს ვპოულობთ ჩვეულებრივ ცხადი ფორმულებით. რაც შეეხება გადაბმის წერტილს, იქ უცნობი ფუნქციის მნიშვნელობა განისაზღვრება საკონტაქტო პირობების შესაბამისი სხვაობიანი დამოკიდებულებიდან. შემდეგ შრეებზე ანალოგიურად განისაზღვრება უცნობი ფუნქციის მნიშვნელობები. იგივე ამოცანისთვის განხილულია ასევე კრანკ-ნიკოლსონის სქემა. სხვაობიანი სისტემის ამოხსნისათვის გამოყენებულია ფაქტორიზაციის მეთოდი. აქ არსებითია ის ფაქტი, რომ საერთო წერტილში უწყვეტი ამოცანისათვის ცნობილი საკონტაქტო პირობები გადატანილია სხვაობიანი ამოცანისათვის. ამის გათვალისწინებით იწერება განტოლება საერთო წერტილში უცნობი ფუნქციის მნიშვნელობების მიმართ. ფასდება ფაქტორიზაციის კოეფიციენტები და აქედან გამომდინარე კეთდება დასკვნა, რომ უცნობი ფუნქციის მნიშვნელობა გადაბმის წერტილში განისაზღვრება ცალსახად. მისი პოვნის შემდეგ სისტემა იხლიჩება ორ ქვესისტემად (მარცხენა და მარჯვენა), რომელთა ამონახსნები მიიღება პირდაპირ, რადგან ფაქტორიზაციის კოეფიციენტები უკვე ცნობილია. განხილულია პარაბოლურ განტოლებათა სისტემისათვის საწყის-საკონტაქტო ამოცანა სამი გაერთიანებული შუალედისთვის საერთო საზღვრითი წერტლებით. როგორც წინა შემთხვევაში, აქაც საერთო წერტილებში გვაქვს უწყვეტი გადაბმა. ამ ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნისათვის ყოველ შუალედში იწერება კრანკ-ნიკოლსონის სქემა. მიღებული სხვაობიანი განტოლებათა სისტემის ამონახსნი ყოველ შუალედში იწერება ცხადი სახით ჩებიშევის ორი ცვლადის პოლინომების საშუალებით. სადაც ამონახსნის მნიშვნელობები გადაბმის წერტილებში ჯერ-ჯერობით უცნობი სიდიდეებია. საკონტაქტო პირობების გათვალისწინებით მიიღება ორ უცნობიანი განტოლებათა სისტემა, რომელსაც ერთადერთი ამონახსნი აქვს. წარმოდგენილ ნაშრომში განხილულია აგრეთვე ჰიპერბოლური განტოლებათა სისტემისათვის საწყის-საკოტაქტო ამოცანის მიახლოებით ამოხსნა ორი გაერთიანე-ბული მართკუთხოვანი არის შემთხვევაში საერთო საზღვრით. დასმული ამოცანისთვის განხილული, როგორც ცხადი სქემა, ასევე - არაცხადი (კრანკ-ნიკოლსონის ტიპის). შესაბამის სხვაობიან განტოლებათა სისტემების ამოხსნისათვის გამოყენებულია იგივე მიდგომა, რაც გამოყენებული იყო პარაბოლურ განტოლებათა სისტემისათვის. გარდა ამისა განხილულია ასევე ჰიპერბოლურ განტოლებათა სისტემისათვის საწყის-საკონ-ტაქტო ამოცანა სამი გაერთიანებული შუალედისათვის საერთო საზღვრითი წერტილებით. ამ ამოცანის მიახლოებითი ამოხსნისათვის ყოველ შუალედში იწერება არაცხადი სქემა (კრანკ-ნიკოლსონის ტიპის). მიღებული სხვაობიანი განტოლებათა სისტემის ამონახსნისათვის გამოყენებულია იგივე მიდგომა, რაც გამოყენებული იყო პარაბოლურ განტოლებათა სისტემისათვის სამი გაერთიანებული არის შემთხვევაში. შევნივშნავთ, რომ წარმოდგენილ ნაშრომში შემოთავაზებული მიდგომა შეიძლება გავრცელდეს ზოგადი პარაბოლურ და ჰიპერბოლურ განტოლებათა სისტემებისათვის საწყის-საკონტაქტო ამოცანების მიახლოებითი ამოხსნისათვის.